Докажите числовое равенство логарифм

Вычисление логарифмов

❯ ❯ Автор: Валерий Павлович Супрун, доцент, эксперт TutorOnline ● 27.10.2017 ● Раздел: Математика – это ключ и дверь ко всем наукам. Великий итальянский ученый Галилео Галилей К числу типовых задач, предлагаемых на вступительных испытаниях, являются задачи, связанные с вычислением логарифмов.

Для успешного решения таких задач необходимо знать свойства логарифмов и иметь навыки решения соответствующих задач. В настоящей статье сначала приводятся основные понятия и свойства, используемые при решении таких задач, а затем рассматриваются примеры решения задач на вычисление логарифмов. Основные понятия и свойства Появлению логарифмов человечество обязано шотландскому математику Джону Неперу (1550 – 1617), который 1614 году опубликовал сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов».

Первоначально приведем основные свойства логарифмов, использование которых позволяет вычислять довольно-таки сложные логарифмы из заданий конкурсных испытаний по математике. Основное логарифмическое тождество записывается в виде

, (1) где

,

и

.

К числу наиболее известных свойств логарифмов относятся следующие равенства: 1. Если , , и

, то

,

, , .

2.Если , , и , то . 3.

Свойства логарифмов

Меню

Вход / / / / На этом уроке рассматриваются свойства логарифмов. Подробно разбираются примеры, в которых необходимо преобразовать выражения с логарифмами.

Вопросы занятия: · рассмотреть свойства логарифмов; · подробно рассмотреть примеры, в которых необходимо преобразовать выражения с логарифмами.

Материал урока Прежде чем приступить к изучению новой темы, давайте повторим определение логарифма, основное логарифмическое тождество: Эти знания нам пригодятся на сегодняшнем уроке. Сегодня мы рассмотрим основные свойства операции логарифмирования.

Заметим, что все свойства мы будем формулировать только для положительных значений переменных, содержащихся под знаком логарифма.

По свойству произведения степеней с одинаковыми основаниями получим: Поскольку степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от единицы, то равны и показатели степеней. Значит: Что и требовалось доказать.

Рассмотрим пример. Сформулируем следующее свойство логарифмов. Теорема 2. Если а, b, c – положительные числа, причём a ≠ 1, то справедливо равенство: Другими словами, логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя. Или: логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Эта теорема доказывается аналогично предыдущей.

Элементарные функции комплексного переменного

В действительной области показательная функция

вводится обычно в связи с обобщением понятия степени .

В комплексной области функцию требуется определить так, чтобы при ее свойства совпадали с известными свойствами функции . Одно из важнейших свойств функции — представление ее рядом Тейлора: она является суммой сходящегося на всей числовой прямой ряда .Учитывая это, рассматриваем ряд и убеждаемся, что он абсолютно сходится при любом , т.е. во всей комплексной плоскости определена некоторая функция — сумма этого ряда.

Так как при имеем , то вводим следующее определение: показательной функцией в комплексной области называется функция, которая является суммой сходящегося во всей комплексной плоскости ряда (2.3)Из определения следует, что показательная функция определена во всей комплексной плоскости.

В частности, при , где — действительное число, имеем .

Используя свойства абсолютно сходящихся рядов (возможность перестановки и группировки членов ряда), ряд можно записать в виде алгебраической суммы двух рядов с действительными членами отделить действительную и мнимую части ряда:Полученные ряды являются рядами Тейлора для функций и .

В результате имеем равенство , или, обозначив через (2.4)Формула (2.4) — формула Эйлера была использована для записи комплексного числа в показательной форме.Функция обладает, очевидно, рядом свойств, справедливость которых установлена в действительной области, т.е. для .С другой стороны, в силу расширения множества, следует ожидать, что имеют место и другие свойства, аналога которых в действительной области нет.К свойствам первой группы нужно отнести прежде всего формулу сложения:(2.5)Доказательство формулы сводится, согласно определению показательной функции, к доказательству справедливости при любых и равенствакоторое устанавливается путем перемножения абсолютно сходящихся рядов, записанных слева (см.

пример 1.44).Если в равенстве (2.5) положить — любое комплексное число, то, учитывая тождество , можно записать . Это равенство,

Логарифмы

Рассмотрим два произвольных действительных числа a и b, удовлетворяющих условиям(1) Определение. Логарифмом числа b по основанию a называют такую степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Другими словами, логарифм числа b по основанию a – это такое число x, которое является решением уравненияa x= b .(2) Доказательство того, что решение уравнения (2) существует и единственно, выходит за рамки школьной программы.

Решение. Воспользовавшись понятием кубического корня и свойствами степеней, получаем Ответ:

. Пример 2. Решить уравнение3x= 81 .

Решение. Воспользовавшись тем, что число 81 является четвертой степенью числа 3 , получаем: Ответ: 4 . Задача. Доказать, что числоlog2 3 Решение.

Предположим противное, т.е. предположим, что указанное число . Тогда существует несократимая дробь

,числитель и знаменатель которой являются натуральными числами и такая, что справедливо равенство: Из определения логарифма отсюда вытекает равенство:следствием которого является равенство:2m= 3n . Но последнее равенство невозможно, поскольку его левая часть четное число, а правая – нечетное.

Полученное противоречие доказывает требуемое в задаче утверждение.

Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического

Тема 15.

Неравенства

1. Линейные, квадратные уравнения и уравнения высших степеней Это надо знать! Линейное уравнение. Уравнение mx=n, где x – неизвестное, m и n – любые действительные числа, называется линей­ным уравнением относительно x. В зависимости от значений параметров m и n линейное уравнение может иметь единственное решение, бесконечное множество решений, и может вообще не иметь решений: 1.

, тогда

– единственное решение; 2.

, тогда уравнение имеет вид

и его решением является любое действитель­ное число; 3.

, тогда уравнение имеет вид

, и оно не имеет решений при

Квадратное уравнение. Уравнение

, где x – неизвестное,

, b и c – любые действительные числа, на­зывается квадратным уравнением относительно x.

Выражение

называется дискриминантом уравнения

В зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, или не иметь действительных корней:

– два корня;

– один корень;

уравнение не имеет действительных корней.

Решение логарифмичеких уравнений. Полное руководство (2020)

 Важное замечание!

Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: Сегодня в этой статье мы обсудим с тобой как решать простые логарифмические уравнения.

Для этого тебе понадобятся некоторые минимальные знания:

• Решение и уравнений.

Обрати внимание в статья написана для учеников разного уровня подготовки, от ничего не знающих до супер продвинутых.

Ну что, в принципе, это все, что нам понадобится.

Что же такое логарифмические уравнения? СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ Это уравнения, в которых неизвестные переменные (ну мы такие жуткие случаи, когда переменных несколько, рассматривать не будем, для нас переменная всегда будет одна и называть мы ее будем «икс») находятся внутри логарифмов.

Например: А вот уравнение нельзя называть логарифмическим. Я думаю, тебе вполне ясно, почему? Верно, все потому, что не находится внутри никакого логарифма.

Такие уравнения называются смешанными и требуют индивидуального подхода. Как же решать логарифмические уравнения?

На самом деле существует целая масса подходов: это и разложение на множители, и потенцирование, и замена, и работа с основаниями… Но все методы решения логарифмических уравнения роднит одно: их цель свести логарифмические уравнения к простейшему виду: , а затем уже решать уравнение без логарифмов: То есть правило такое: Если уравнение сведено к такому, что слева и справа от знака «равно» стоят логарифмы с одним основанием, то логарифмы мы «зачеркиваем» и решаем оставшееся уравнение. Однако, тут есть один подводный камень: поскольку логарифм определен только тогда, когда то после нахождения корней логарифмического уравнения, мы обязаны сделать проверку!!! Я не поленюсь и повторю еще раз: В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ МЫ ВСЕГДА ДЕЛАЕМ ПРОВЕРКУ ПОЛУЧЕННЫХ КОРНЕЙ!!

Те учащиеся, которые игнорируют это требование, как правило допускают глупейшие и непростительные ошибки (согласись, обидно решить правильно уравнение, а потом не сделать самую малость: проверку, и записать лишние корни, и записать из-за этого неправильный ответ!)

Логарифмы: примеры и решения

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (ab*ac = ab+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов.

Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.Логарифмом называется выражение следующего вида: logab=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b».

Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log28.

Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

• Логарифм любого числа b по основанию a>1.
• Десятичный a, где основанием служит число 10.
• Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем.

Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной.

Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел.

Основные свойства логарифмов

2 февраля 2017

1. Материалы к уроку

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача.

К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим. Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y.

Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

• loga x − loga y = loga (x : y).
• loga x + loga y = loga (x · y);

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания.

Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см.

урок «»). Взгляните на примеры — и убедитесь: Задача. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9. Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3. Основания одинаковые, используем формулу разности:log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4. Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3. Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются.

Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы.

Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень?

Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

• loga xn = n · loga x;

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух.

Свойства логарифмов и примеры их решений.

Исчерпывающий гид (2020)

 Важное замечание!

Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: Как научиться решать логарифмы? Объясним все человеческим языком.

Логарифмы – ОЧЕНЬ простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно: разобраться со свойствами логарифма и понимать что как называется,понимать разницу между видами логарифмов (десятичными и натуральными). Ну и уметь возводить число в степень, знать таблицу умножения (а это ты точно умеешь).

Все. Больше ничего не нужно. Прочитай эту статью, обязательно реши примеры и решение логарифмов навсегда станет для тебя задачкой easy-peasy lemon squeezy — очень легкой 🙂 Для начинающих объясним все человеческим языком. Логарифмы – очень простая тема. Чтобы понять как их решать – нужно всего лишь разобраться что как называется, знать таблицу умножения и уметь возводить в число в степень.

Все. Больше ничего не нужно. Начнем с простого.

Как решить уравнение ? Очень легко – просто ответь на вопрос в какую степень нужно возвести число чтобы получить ? Решаем методом подбора: два в первой степени – нет, два во второй степени – нет, два в третей степени – ДА!

Двойку нужно возвести в ТРЕТЬЮ степень, чтобы получить восемь ( ) и значит решением уравнения будет число три ( ). Следующий вопрос. Как решить уравнение ?

Для нахождения таких решений было придумано понятие логарифм: . В общем виде он записывается так: То есть логарифм – это степень, в которую нужно возвести основание , чтобы получить аргумент .

Вернёмся к . Если ты посчитаешь на калькуляторе, то получишь и т.д. Это число иррациональное. Оно мало того, что не подбирается,

Логарифм — свойства, формулы, график

Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма.

А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел. Содержание См. также: Логарифм с основанием a – это функция y(x) = loga x, обратная к с основанием a: x(y) = a y.

В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: .

Десятичный логарифм – это логарифм по основанию числа 10: lg x ≡ log10 x. Натуральный логарифм – это логарифм по основанию числа e: ln x ≡ loge x. 2,718281828459045.; .

График логарифма получается из зеркальным отражением относительно прямой y = x.

Слева изображены графики функции y(x) = loga x для четырех значений основания логарифма: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает.

С увеличением x рост существенно замедляется.

При 0 < a>< 1 логарифм монотонно убывает.> См.

также «». Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице. Область определения 0 < x>< + ∞> 0 < x>< + ∞> Область значений – ∞ < y>< + ∞> – ∞ < y>< + ∞> Монотонность монотонно возрастает монотонно убывает Нули, y = 0 x = 1 x = 1 Точки пересечения с осью ординат, x = 0 нет нет + ∞ – ∞ – ∞ + ∞ Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так: Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом: Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции: Логарифмирование – это математическая операция взятия логарифма.

При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов. Потенцирование – это математическая операция обратная логарифмированию.

Логарифмические неравенства — это ЕГЭ по математике на 100 баллов!

(2020)

 Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш.

Как это сделать в твоем браузере написано здесь: ЕГЭ по математике уже не за горами, а ты до сих пор не научился решать логарифмические неравенства?!

Да ладно?! Это же легко! Шучу. На самом деле логарифмические неравенства — сложная тема. Это тема части «С» на ЕГЭ. Но зато, если ты научишься их решать, ты будешь готов к ЕГЭ по математике на 100!

Ну почти.)) Сейчас для тебя эта тема станет простой. Я тебе ВСЕ объясню! И ты сможешь решить любое логарифмическое неравенство. СОДЕРЖАНИЕ «Логарифмические» и «неравенства».

Оба слова тебе знакомы по отдельности? Я очень надеюсь, что да. Иначе я настоятельно рекомендую (очень-очень прошу!) прочитать и освоить следующие разделы: Эти материалы очень важны для сдачи ЕГЭ по математике на хороший балл и поступления в ВУЗ мечты! Учти это! Ну что, весь материал улегся в голове?

Теперь ты легко сможешь ответить на вопрос, скажем, чему равен , ведь ясно, что это , правда? А почему? Да потому, что , а логарифм – это и есть та степень, в которую нужно возвести маленькое число снизу (в данном случае ), чтобы получить большое число сверху (то есть ). А вот ты знаешь, чему в точности равно ?

Нет? И я нет, и никто не знает.

(для меня с такого постулата началась математика, что никто и ничего не знает) А все почему? Да потому что нет целой степени двойки такой, чтобы двойка в ней равнялась трем.

Факт есть факт. То есть логарифм, можно сказать, обобщает понятие степени. Ну что я все про логарифмы да про … Ты ведь мне пообещал, что прочитаешь все материалы по ним самостоятельно, и я тебе в этом вопросе полностью доверяю. Как доверяю и в том, что с (хотя бы простейшими), ты тоже на «ты».